〷 60スター西洋占星術 シーズン・バケーション２ ミニ付録１ ラマヌジャン・ナーゲル方程式とたぬちゃん その１ かっこいい数

60スター西洋占星術

シーズン・バケーション　その２　　

日本語版

BY　TOKYO-TANUKI💛

〷　60スター西洋占星術　シーズン・バケーション２　ミニ付録１

ラマヌジャン・ナーゲル方程式とたぬちゃん

その１　かっこいい数

１.　前から言ってますけどね、たぬちゃんはラマヌジャンさんが好きなのです。

なぜかっていうと、夢の中で女神さまに色々教えてもらっているからです。

子どものような純真な心の時、神様は人間に語り掛けます。

それは、言葉というより、イメージというか、図面とか、そういうものです。

...というか、神様は結構お話をしてくるのですが、大人の心が濁っているので聞こえないんです。


つまり、ラマヌジャンさんは、子供の心をずっと持っていたのですね。




２.　ところで、たぬちゃんは、かっこいい数字が好きです。

そういうわけで、いわゆるラマヌジャン・ナーゲル方程式が好きです。

これは、

２ⁿ－７= Ｘ²

という式ですね。

ｎが３のとき、Ｘは１
ｎが４のとき、Ｘは３
ｎが５のとき、Ｘは５
ｎが７のとき、Ｘは１１
ｎが１５のとき、Ｘは１８１

........................この5つしかないんですね。

5個しか解がないことは、ナーゲルさんが証明したのですね。

２ⁿ－７=Ｘ²

かっこいいですね！





３.　ところで、ｎが１５というのが飛び出してますね。


２¹⁵−７=１８１²は、１８１²＝３２７６１

これは、よくみると、なんかちょっと突然出てきた感じですね。

うーん


......お！　💡💡💡


つまり、２¹⁵から７つまり（７×２⁰）を差し引く代わりに
（７×２ⁿ）を差し引いて別のＹ²にしてみよう！


そうすると、２¹⁵は３２７６８ですから

２¹⁵－（７×２⁸）＝３０９７６=１７６²=（１１×２⁴）²ですね


んー........................似たような仲間はいないかな？


お！

２⁷−７=１２１をみてみると、
２⁷−（７×２⁰）＝（１１×２⁰）²となっていますね！


そうすると、じゃあ、２の11乗で考えてみると、

２¹¹=２０４８ですから、
２¹¹−（７×２⁴）＝１９３６=（１１×２²）²

......


つまり、２の奇数乗から、７×（２の２ｎ乗）を差し引くと、11の倍数の2乗という平方数がでてくるのではないか？


そう思って、たぬちゃんは２¹¹のあとどうなるのか、Geminiに聞いてみました。

すると、


"
計算を示します。

$n=11$ の場合（$7 \times 16$ を引く）
$$2^{11} - 7 \times 16 = 2048 - 112 = 1936 = \mathbf{44^2 \quad (4 \times 11)^2}$$

$n=13$ の場合（$7 \times 64$ を引く）
$$2^{13} - 7 \times 64 = 8192 - 448 = 7744 = \mathbf{88^2 \quad (8 \times 11)^2}$$

$n=15$ の場合（$7 \times 256$ を引く）
$$2^{15} - 7 \times 256 = 32768 - 1792 = 30976 = \mathbf{176^2 \quad (16 \times 11)^2}$$

$n=17$ の場合（$7 \times 1024$ を引く）
$$2^{17} - 7 \times 1024 = 131072 - 7168 = 123904 = \mathbf{352^2 \quad (32 \times 11)^2}$$

となります。"

...とまあ、きれいな規則があったのですね。

ただの式の変形だったのですね。


そのあとも、

" 以下のようになります。
■ $n=21$ の場合
計算式: $2^{21} - 7 \times 16,384 = 2,097,152 - 114,688 = \mathbf{1,982,464}$
平方数の正体: $(128 \times 11)^2 = \mathbf{1,408^2}$

■ $n=23$ の場合
計算式: $2^{23} - 7 \times 65,536 = 8,388,608 - 458,752 = \mathbf{7,929,856}$
平方数の正体: $(256 \times 11)^2 = \mathbf{2,816^2}$

■ $n=25$ の場合
計算式: $2^{25} - 7 \times 262,144 = 33,554,432 - 1,835,008 = \mathbf{31,719,424}$

平方数の正体: $(512 \times 11)^2 = \mathbf{5,632^2}$

■ $n=27$ の場合
計算式: $2^{27} - 7 \times 1,048,576 = 134,217,728 - 7,340,032 = \mathbf{126,877,696}$
平方数の正体: $(1,024 \times 11)^2 = \mathbf{11,264^2}$

■ $n=29$ の場合

計算式: $2^{29} - 7 \times 4,194,304 = 536,870,912 - 29,360,128 = \mathbf{507,510,784}$

平方数の正体: $(2,048 \times 11)^2 = \mathbf{22,528^2}$

この先の景色：11の波が2倍ずつ広がっていくかっこよさ　ですね！

あ、忘れてた！

■ \(n=19\) の場合の計算式: \(2^{19} - 7 \times 4,096 = 524,288 - 28,672 = \mathbf{495,616}\)平方数の正体: \((64 \times 11)^2 = \mathbf{704^2}\)

になります。　”



......と、まあ、Geminiによれば、


"２¹⁵のとき、７¹を差し引いた数が、たまたま次の平方数への隙間（$181^2 - 176^2 = 1785$）と奇跡的に一致したため、元のラマヌジャン・ナーゲル方程式の解（$181^2$）が生まれた"

ということらしいのですね。

まあ、"奇跡的"? というのかどうか、Geminiは大げさに話を作るので、そこはわからないんですけど。




４.　それじゃあ、

２³−７=１²

とか、

２⁴−７=３²

とか、

２⁵−７=５²

とか、

他の子はどうなの？

.............ということになりますね



きょうはここまで。


次回に続きます。
まあ、大した話ではないんですけどね。



Tanu-chan💓　TOKYOTANUKI💛